Como hoy tocan números, una canción de sintetizador; que es matemática pura. "Palomitas de maíz", canción de Gershon Kingsley de 1969. ¿Quién no la ha tarareado?
Los números, la matemática, son las base de todo el mundo actual, desde el bote donde vienen los yogures hasta que tú ahora mismo estés leyendo esto. Desde Euclides hasta Descartes la matemática fue fundamentalmente geometría. Pero el amigo Descartes supuso un antes y un después en las matemáticas. Inventar algo tan aparentemente inútil pero tan fundamental como el sistema cartesiano ese de los ejes ha sido una revolución en el mundo de los números. Luego vino Leibnitz con el cálculo infinitesimal, sin el cual nuestro tecnológico y conectado mundo actual sería imposible.
Todo es sencillo si se sabe explicar sencillamente. Algo tan raro y que nos lo metían por que sí en la cabeza como el teorema de Pitágoras ese, es más claro de lo que parece. Vamos con Pitágoras hoy. Os presento tres segmentos, A, B y C
Antes de pasar a Pitágoras repasemos eso de las potencias notables y su porqué. Eso de que (A+B) al cuadrado es A al cuadrado más B al cuadrado mas dos veces A por B. Se puede utilizar a nuestro amigo Descartes, pero es más visual e intuitivo recurrir a la geometría tradicional. Usemos a A y a B para construir un cuadrado. Todos sabemos que el área de un cuadrado es el lado al cuadrado
Como ya los conocemos, usemos a A y a B y hagamos un cuadrado como este
Un cuadrado de lados A+B. Tenemos dos cuadrados, uno de lado A, otro de lado B, y dos rectángulos iguales, uno tumbado y otro tieso, de lados A y B. Así pues, el cuadrado A+B, su área es el lado (A+B) al cuadrado. Pero también el área es el primer cuadrado (A al cuadrado) más el segundo cuadrado (B al cuadrado) más los dos rectángulos (dos veces A por B). Ya tenemos una herramienta para luego. Ya sabemos que (A+B)^2=A^2+B^2+2AxB
Ahora cojamos a nuestros amigos los segmentos y construyamos un triangulo rectángulo con ellos. Es este y sólo este en el mundo
No contentos con esto, hacemos otro, lo giramos un cuarto de vuelta y lo pegamos al primero. Sale esto
Y repetimos la operación con un tercer triángulo
Y cerramos nuestro dibujo con un cuarto triángulo
Ya casi está. Fijaos en el dibujo. Hay cuatro triángulos, de lados A B C, y dos cuadrados, uno de lado C y otro, el grande, de lado A+B.
Evidentemente el área del cuadrado es el lado al cuadrado. O sea, que por un lado el área del pequeño es C^2 y el del grande (A+B)^2. Pero el área del grande también es la suma de las áreas de los cuatro triángulos exteriores y del cuadrado central. Dicho de otra forma
Área del cuadrado grande= 4 triangulicos más un cuadrado pequeño
El área del triangulico es multiplicar la base por la altura y luego la mitad. O sea AxB/2. Cuatro veces esto es 2xAxB. El área del cuadrado pequeño es CxC. O sea C^2. O sea
Área del cuadrado grande= 2xAxB+ C^2
Por otro lado, como el lado del cuadrado grande es A+B, también el área del cuadrado grande es
Área del cuadrado grande= Lado al cuadrado = (A+B)^2
De antes sabemos que
(A+B)^2=A^2+B^2+2AxB
O sea
Área del cuadrado grande= A^2+B^2+2AxB
El área es la misma lo hagamos por el camino que lo hagamos. O sea,
A^2+B^2+2AxB= Área del cuadrado grande= 2xAxB+ c^2
A^2+B^2+2AxB= 2xAxB+ C^2
Como 2xAxB está en los dos sitios, lo eliminamos de los dos lados. Y queda esto
A^2+B^2=C^2
¿Véis? Es lo que dijo Pitágoras hace dos mil setecientos años. Una sencilla demostración
Las matemáticas son la base de toda nuestra tecnología actual y dentro de ellas el complejo cálculo infinitesimal ocupa una parte importantísima. Pero ese complicado cálculo, debajo, muy debajo, tiene a la humilde geometría clásica. Y la base de toda esta es algo tan sencillo como los triángulos y los rectángulos.
Así que ya sabéis, cuando en vuestra vida diaria os crucéis con un triángulo o un rectángulo, saludadlo con respeto, que sin ellos no seríamos nada
Y todo gracias a nuestros nuevos amigos, A B y C
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